dx
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dx一:(∫f(x)dx)(∫1/f(x)dx)=-1求f(x)
∫ ƒ(x) dx • ∫ 1/ƒ(x) dx = - 1ƒ(x) • ∫ 1/ƒ(x) dx + 1/ƒ(x) • ∫ ƒ(x) dx = 0ƒ²(x) • ∫ 1/ƒ(x) dx + ∫ ƒ(x) dx = 0,ƒ(x) ≠ 02ƒ(x)ƒ"(x) • ∫ 1/ƒ(x) dx + ƒ²(x) • 1/ƒ(x) + ƒ(x) = 02ƒ(x)ƒ"(x) • ∫ 1/ƒ(x) dx + ƒ(x) + ƒ(x) = 02ƒ(x)ƒ"(x) • ∫ 1/ƒ(x) dx = - 2ƒ(x)ƒ"(x) • ∫ 1/ƒ(x) dx = - 1,ƒ(x) ≠ 0∫ 1/ƒ(x) dx = - 1/ƒ"(x)1/ƒ(x) = ƒ""(x)/ƒ"²(x)y"² = y • y""y • y"" - y"² = 0令u = y",则y"" = d(dy/dx)/dx = du/dx = du/dy • dy/dx = u • du/dyy • u • du/dy - u² = 0y • du/dy = udu/u = dy/y∫ 1/u du = ∫ 1/y dyln| u | = ln| y | + ln| a | = ln| ay |u = aydy/dx = aydy/y = a • dx∫ 1/y dy = a • ∫ dxln| y | = ax + by = e^(ax + b),其中a和b为暂定常数代入原式后发现∫ ƒ(x) dx • ∫ 1/ƒ(x) dx = - 1/a² = - 1于是a = ± 1ƒ(x) = e^(x + b) 或 ƒ(x) = e^(- x + b),其中b为任意常数
dx二:(∫dx)(∫dy)与∫dx∫dy一样么?
如果x和y之间是独立的,它们的范围都是常数例如0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 4则∫∫ dxdy = ∫(0,2) dx ∫(0,4) dy = [ ∫(0,2) dx ] * [ ∫(0,4) dy ]这两个定积分可以分开独立计算.但如果x和y之间有联系例如0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ x则∫∫ dxdy = ∫(0,2) dx ∫(0,x) dy 或 ∫(0,2) dy ∫(y,2) dx但是 ≠ [ ∫(0,2) dx ] * [ ∫(0,x) dy ] 或 ≠ [ ∫(0,2) dy ] * [ ∫(y,2) dx ]这个二重积分一定要根据相应次序来积分,不能分开两个独立的积分来计算.
dx三:d/dx[∫上b下a f(x)dx]=
,如果没其他条件,a,b都是常数,那么∫(a,b) f(x)dx也是个常数.所以对∫(a,b) f(x)dx求导,结果为0d/dx[∫(a,b) f(x)dx]=0
