泰勒公式
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泰勒公式篇1:泰勒公式是什么?（公式的定义）
f(x)=f(x0)+f"(x0)*(x-x0)+f""(x0)/2!*(x-x0)^2+...+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n （泰勒公式,最后一项中n表示n阶导数） f(x)=f(0)+f"(0)*x+f""(x)/2!*x^2+...+f(n)(0)/n!*x^n （麦克劳林公式公式,最后一项中n表示n阶导数） 泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f"(x.)(x-x.)+f""(x.)/2!•(x-x.)^2,+f"""(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项.（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘.） 证明：我们知道f(x)=f(x.)+f"(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f"(x.)Δx）,其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式.设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P"(x.)=f"(x.),P""(x.)=f""(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An.显然,P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P"(x.)=A1,A1=f"(x.)；P""(x.)=2!A2,A2=f""(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!.至此,多项的各项系数都已求出,得：P(x)=f(x.)+f"(x.)(x-x.)+f""(x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.接下来就要求误差的具体表达式了.设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0.所以可以得出Rn(x.)=Rn"(x.)=Rn""(x.)=……=Rn(n)(x.)=0.根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn"(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn"(ξ1)-Rn"(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn""(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!,这里ξ在x.和x之间.但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数,故P(n+1)(x)=0,于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x).综上可得,余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1).一般来说展开函数时都是为了计算的需要,故x往往要取一个定值,此时也可把Rn(x)写为Rn.
泰勒公式篇2:哪些函数可以用泰勒公式表示?
在数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果比如说,指数函数ex 在x = 0 的附近可以用以下多项式来近似地表示：其中
泰勒公式篇3:泰勒公式重点是那些
带Peano余项的Taylor公式（ Maclaurin公式）：可以反复利用L"Hospital法则来推导, f(x)=f(x0)+f"(x0)/1!*(x-x0)+f""(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n) 泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：若函数f(x）在含有x的开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于（x-x.）多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f"(x.)(x-x.)+f""(x.)/2!*(x-x.)^2,+f"""(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn(x) 其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1）!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项. （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘.） 使用Taylor公式的条件是：f(x)n阶可导.其中o((x-x0)^n)表示比无穷小(x-x0)^n更高阶的无穷小. Taylor公式最典型的应用就是求任意函数的近似值.Taylor公式还可以求等价无穷小,证明不等式,求极限等 编辑本段证明 我们知道f(x)=f(x.)+f"(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f"(x.)Δx,其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x）且要写出其误差f(x)-P(x）的具体表达式.设函数P(x）满足P(x.)=f(x.),P"(x.)=f"(x.),P""(x.)=f""(x.）,……,P(n)(x.)=f(n)(x.）,于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An.显然,P(x.)=A0,所以A0=f(x.）；P"(x.)=A1,A1=f"(x.）；P""(x.)=2!A2,A2=f""(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!.至此,多项的各项系数都已求出,得：P(x)=f(x.)+f"(x.)(x-x.)+[f""(x.)/2!](x-x.)^2+……+[f(n)(x.)/n!](x-x.)^n. 接下来就要求误差的具体表达式了.设Rn(x)=f(x)-P(x）,于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0.所以可以得出Rn(x.)=Rn"(x.)=Rn""(x.)=……=Rn(n)(x.)=0.根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1）=（Rn(x)-Rn(x.））/（（x-x.)^(n+1）-0）=Rn"（ξ1）/(n+1）（ξ1-x.)^n（注：（x.-x.)^(n+1）=0）,这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn"（ξ1）-Rn"(x.））/（（n+1）（ξ1-x.)^n-0）=Rn""（ξ2）/n(n+1）（ξ2-x.)^(n-1）这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1）=Rn(n+1）（ξ）/(n+1）!,这里ξ在x.和x之间.但Rn(n+1）（x)=f(n+1）（x)-P(n+1）（x）,由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数,故P(n+1）（x)=0,于是得Rn(n+1）（x)=f(n+1）（x）.综上可得,余项Rn(x)=f(n+1）（ξ）/(n+1）!(x-x.)^(n+1）.一般来说展开函数时都是为了计算的需要,故x往往要取一个定值,此时也可把Rn(x）写为Rn.麦克劳林展开式 ：若函数f(x）在开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f"(0)x+f""(0)/2!x^2,+f"""(0)/3!x^3+……+f(n)(0)/n!x^n+Rn 其中Rn=f(n+1）（θx)/(n+1）!x^(n+1）,这里0
