三角形的面积公式
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一：[三角形的面积公式]三角形的面积计算公式有几种?
最简单的就是根据长方形的面积=长×宽推断出平行四边形的面积=底×高,因为两个一样的三角形可组成一个平行四边形,可得面积计算公式：三角形的面积=底×高÷2 [S=ah÷2]或者是：三角形任意两边之积×这两边的夹角的正弦值÷2 [S=ab×sin×1/2]
二：[三角形的面积公式]三角形的面积公式
任意三角形的面积公式（海伦公式）：S=√p(p-a)(p-b)(p-c),p=（a+b+c）/2,a.b.c,为三角形三边.证明：证一 勾股定理 分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式.证明：如图ha⊥BC,根据勾股定理,得:x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④,故得证.证二：斯氏定理 分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha.斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D,若BD=u,DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知,u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤,故得证.证三：余弦定理 分析：由变形② S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明.证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式,故得证.证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式.恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图,tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式,得：+ + = ①②③代入,得：∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④,得：r 2 · = 两边同乘以 ,得：r 2 · = 两边开方,得：r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①,故得证.证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得：r3 = ×xyz
三：[三角形的面积公式]三角形的面积公式是多少?
1.已知三角形底a,高h,则 S＝ah/22.已知三角形三边a,b,c,则 （海伦公式）（p=(a+b+c)/2） S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] =（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)] 3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S＝1/2 * absinC 4.设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为r 则三角形面积=(a+b+c)r/2 5.设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为R 则三角形面积=abc/4R 6.S△=1/2 * | a b 1 | | c d 1 | | e f 1 | | a b 1 | | c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系 内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC | e f 1 | 选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取 得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就 可以了,不会影响三角形面积的大小! 7.海伦——秦九韶三角形中线面积公式: S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长. 8.根据三角函数求面积： S= ½ab sinC=2R²sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA 注:其中R为外切圆半径. 9.根据向量求面积： SΔ)= ½√(|AB|*|AC|)²-（AB*AC）²
